Чим відрізняється булева алгебра від логіки першого порядку?


Відповідь 1:

На початку (ну, 19 століття) існувала булева алгебра.

Це було способом визначення того, що означають такі речі, як "І" та "АБО", якщо мова йде про математику.

Пізніше булева алгебра стала більш (математично) формальною, запровадивши дійсно, насправді, водонепроникне визначення того, що означають такі речі, як "Доказ".

Отже, якщо у вас є логічне твердження типу "(A AND B) OR (A AND C) = A AND (B OR C)"

... тоді ви можете використовувати правила логіки пропозицій, щоб побачити, чи це природно випливає з аксіом (основних математичних припущень, що формують визначення алгебри.) Якщо це так, це правдиве твердження.

Ця дисципліна "бачити, чи слід це" називається пропозиційною логікою.

Логіка предикатів - це розширення до логіки пропозицій, яка вводить такі речі, як "ЗА ВСІХ" та "ТАМИ Є". Така форма логіки дозволяє робити твердження, які можуть бути правдивими, але насправді не можна довести з аксіоми.

Логіка першого порядку є синонімом «логіки предиката».


Відповідь 2:

Існує маса розбіжностей між булевою алгеброю та логікою першого порядку:

  1. LanguageBoth - це формальні системи, проте всесвіт BA містить лише значення значень істинності, отже, він не вимагає кількісних показників, функціональних та предикатних символів: отже, його алфавіт складається лише із пропозиційних змінних, сполучників та дужок; з іншого боку, Всесвіт FOL (у випадку стандартизованих лічильних мов) складається з різних об'єктів (а також з двох значень істини у випадку класичного FOL): отже, його алфавіту потрібні кількісні показники, предикативні та функціональні символи, окремі змінні та константи а також пропозиції змінних. Види логікиОдин може мати будь-який тип FOL, якого хочеться: класичний, інтуїціоністський, релевантний, модальний, багатозначний тощо. І т. д. З іншого боку, BA - це алгебраїчне представлення лише класичного пропозиційного логіка. Або, у випадку інтуїціоністської логіки пропозицій, можна мати псевдобулеву алгебру (тобто BA, де закон виключеної середини не дотримується). Моделі Як я вже говорив, BA не є моделлю для FOL. Можна побачити, як проводиться алгебраїзація. Потрібні інші алгебраїчні структури, щоб мати алгебраїчні моделі для класичного FOL.

Відповідь 3:

Класична сентенційна логіка - модель булевої алгебри.

Логіка першого порядку об'єднує певну форму логіки сентенцій, домен індивідів (зазвичай абстрактних), змінних, що варіюються за індивідами, оператори змінних зв'язків, які називаються кванторами, і предикати, що позначають властивості однієї або декількох кількісних змінних. Предикати, змінні яких кількісно оцінюють значення істинності виходу. Логіки першого порядку - це моделі з поліадних або циліндричних алгебр.

Логіка першого порядку з одним або декількома інтерпретованими предикатами та аксіомами, що мають на увазі ці предикати, є теорією першого порядку. Найкраще зрозуміла теорія першого порядку - це аксіоматична теорія множин, з якої можна отримати всю математику (google "Metamath" для постійного виведення майже всієї математики із загальної садової теорії аксіоматичних множин ZFC. Теорія категорій вимагає додаткового теоретико-множинного набору аксіома, аксіома Тарскі-Гретхендека.) Дивно, що аксіоматична теорія множин вимагає лише одного бінарного предиката, призначеним тлумаченням якого є встановлення членства. Формули аксіоматичної теорії множин містять кількісно визначені змінні, що містять не більше трьох глибин. Практична математика збільшує цю рамку з величезна кількість скорочень, що називаються визначеннями.

Булева алгебра - загальна алгебраїчна структура. Логіка першого порядку - це шлюз для всієї математики і для великої кількості формальної логіки, і є центральним для багатьох інформатики та ШІ. Простота, розмах і сила логіки першого порядку поступово стали зрозумілі між 1920 і 1950 роками.