Чим відрізняється повнота і послідовність?


Відповідь 1:

Консистенція: n. повторення в різні початкові моменти в часі

Повнота: n. маючи всі необхідні та / або нормальні підмножини

Як ви бачите за визначеннями, послідовність - це повторення чогось у різні моменти часу, або це означає, що ви робите одне і те саме і знову. Це визначення використовується в послідовній поведінці, що означає, що воно повторюється.

Коли ви говорите, що щось має консистенцію молока, то ви говорите, що воно має таку ж товщину або в'язкість, як і молоко.

Повнота означає наявність кожного необхідного та / або нормального підмножини або є збереженням чогось або відноситься до цілісності чи сукупності.


Відповідь 2:

Спочатку відповіли на питання: Яка різниця між повнотою та послідовністю?

Існує кілька різних властивостей, якими система логіки може мати або не мати. Консистенція та повнота яких - лише дві.

На сьогоднішній день питання є просто неоднозначним, оскільки і слово "послідовність", і слово "повнота" мають (принаймні) два виразних значення при посиланні на систему логіки.

Ці чіткі значення подібних термінів не спричиняють закінчення плутанини і непорозумінь, коли мова йде про речі, такі як, що насправді говорять теореми про незавершеність Геделя!

Через це у мене знадобиться час, щоб спробувати пояснити, що таке відповідні поняття, коли говорити про послідовність та повноту.

Але спочатку я просто представлю таблицю самих понять та їх взаємозв'язок:

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{} & \textbf{Syntactic} & \textbf{Semantic} \\ \hline \textbf{Consistency} & \text{syntactic consistency} & \text{semantic consistency} \\ \text{} & \text{(non-contradiction)} & \text{(soundness)} \\ \hline \textbf{Completeness} & \text{syntactic completeness} & \text{semantic completeness} \\ \text{} & \text{(all propositions decidable(*))} & \text{(adequacy)} \\ \hline \end{array} \\ \textrm{(*) decidable defined as either provable or disprovable} \tag*{}

Спочатку загальний огляд того, що таке логічна система.

Логіка складається з мови, якою можна висловлювати пропозиції, деякої колекції поданих пропозицій на цій мові, званої аксіомами (це не слід вважати істинами, що є само собою зрозумілими, а просто гіпотетичними) та зібранням правил умовиводу. Правила умовиводу забезпечують механізм обчислення можливих нових пропозицій з якоїсь комбінації аксіом та інших обчислених пропозицій. Вони приймають деяку колекцію пропозицій як вхідні дані і дають одну пропозицію (класично) як вихідну. Вхідними правилами умовиводу найчастіше називаються його передумовами, а наслідком є ​​висновок.

Ми зазвичай називаємо ці обчислення аргументами чи доказами, і кожен окремий крок обчислення, ми зазвичай називаємо крок висновку.

Forexampleonemighthavetheinferencerule:GiventhepropositionsA    Band[math]A[/math],theresultofthecalculationis[math]B[/math].Thisinferenceruleisknownasmodusponens.For example one might have the inference rule : Given the propositions A \implies B and [math]A[/math], the result of the calculation is [math]B[/math]. This inference rule is known as modus ponens.

Для найбільш поширених систем логіки аксіоми та правила виводу багато в чому взаємозамінні, оскільки аксіома може розглядатися як правило виводу без приміщень, а ефект правила умовиводу може бути імітований аксіомами. Однак для того, щоб генерувати будь-які нові пропозиції, нам потрібно принаймні одне правило висновку! Дуже часто це правило буде modus ponens.

Зауважте дуже уважно, що пропозиція тут - це лише рядок символів, вона не має жодного значення. Це буде забезпечено інтерпретацією, яка відображає ці рядки в деякому "значенні".

Далі я розгляну поняття, представлені в таблиці вище. Я спочатку вивчу синтаксичні поняття.

Now,syntacticconsistencyofasystem,alsoknownasnoncontradiction,isthefollowingproperty:Theredoesnotexistaproposition,letscallitP,suchthatwecanbothcalculate(i.e.prove)[math]P[/math]and[math]¬P[/math].Now, syntactic consistency of a system, also known as non-contradiction, is the following property: There does not exist a proposition, let’s call it P, such that we can both calculate (i.e. prove) [math]P[/math] and [math]\lnot P[/math].

AsystemisthereforesyntacticallyinconsistentorcontradictorywhentheredoesexistsomePthatisbothprovableanddisprovable(i.e.thenegationisprovable).A system is therefore syntactically inconsistent or contradictory when there does exist some P that is both provable and disprovable (i.e. the negation is provable).

Як було сказано вище, тут взагалі немає жодного поняття сенсу чи істини! Звичайно, мотивація цього поняття неузгодженості має стосуватися питань змісту, зокрема, передбачуваного значення понять заперечення та суперечності, але залишається випадок, що вищенаведене визначення жодним чином не посилається на таке значення або поняття істини.

Thesyntacticconsistencyofmanysystemsoflogicissimplynotknownoronlyknownrelativetoothersystemsoflogic.Thatiswehavequiteafewresultsofthegeneralform:IfsystemS1issyntacticallyconsistentthenalsosystem[math]S2[/math].The syntactic consistency of many systems of logic is simply not known or only known relative to other systems of logic. That is we have quite a few results of the general form: If system S_1 is syntactically consistent then also system [math]S_2[/math].

Синтаксична повнота - це тема, якою займається дуже відома перша теорема про незавершеність Геделя [1] [2].

WhereassyntacticconsistencyconcernedthenonexistenceofpropositionsPthatarebothprovableanddisprovable,syntacticcompletenessconcernsthenonexistenceofpropositions[math]P[/math]thatareneitherprovablenordisprovable.Whereas syntactic consistency concerned the non-existence of propositions P that are both provable and disprovable, syntactic completeness concerns the non-existence of propositions [math]P[/math] that are neither provable nor disprovable.

Wecallasystemoflogicsyntacticallycompleteiftherearenosuchpropositions.Again,noteverycarefullythatthisdefinitionisindeedpurelysyntactic.Thereisnoconsiderationofmeaninginvolvedatall.MerelythequestionofwhetherornotwecanfindsomestringP,suchthatwecannotcalculatethatpropositionstartingfromtheaxiomsandneithercanwecalculate[math]¬P[/math].We call a system of logic syntactically complete if there are no such propositions. Again, note very carefully that this definition is indeed purely syntactic. There is no consideration of meaning involved at all. Merely the question of whether or not we can find some string P, such that we cannot calculate that proposition starting from the axioms and neither can we calculate [math]\lnot P[/math].

Цей результат є надзвичайно часто, неправильно зрозумілим і, як наслідок, неправильно застосовується до такої кількості тем. Потрібно лише дотримуватися теми Теореми про незавершеність Геделя, щоб побачити це непорозуміння в дії.

Саме тому, що ця теорема розглядає лише синтаксичні питання - чи ми можемо обчислити рядки (пропозиції) з інших рядків (аксіоми) - правда не має значення.

Це точно так, як не в змозі обчислити будь-які непарні числа, враховуючи лише парні числа разом з додаванням і множенням. За допомогою заданих засобів результат неможливо отримати.

Іншим прикладом може бути неконструктивність квадрата, рівного площі даному колу, використовуючи лише компас та лінійку. Засоби просто не підходять до кінців.

Хоча на той час несподівано, це зовсім не дивно, але зовсім не дивно. Треба пам’ятати, що в той час математична логіка не була такою зрілою дисципліною, якою є сьогодні, а навпаки, все ще перебуває на стадії формування.

Єдине найважливіше, що тут слід усвідомити, - це те, що певна пропозиція, яка виявляється незмінною з аксіом, не є ні обов'язково істинною, ні обов'язково хибною. Таку пропозицію ми називаємо нерозбірливою пропозицією.

Наведемо тут дуже простого прикладу, щоб зрозуміти питання синтаксичної незавершеності.

Розглянемо дійсно дуже простий світ. У цьому світі або дощ, або не дощ, і в цьому світі газон або вологий, або не мокрий. Інших фактів, що цікавлять наш світ, взагалі немає.

Дві аксіоми у цьому світі:

  1. ifitisraining,thenthelawnmustbewet.(Raining    LawnWet)Thelawniswet.([math]LawnWet[/math])if it is raining, then the lawn must be wet. (\textrm{Raining} \implies \textrm{LawnWet})The lawn is wet. ([math]\textrm{LawnWet}[/math])

В якості правил виводу ми допускаємо всі стандартні правила виводу, що керують сполучниками, включаючи пояснені вище способи.

WehavetwopropositionalvariablesRainingand[math]LawnWet[/math]whichrepresentwhetherornotitisrainingandthelawniswetrespectively.Ofcoursewecanformlargerpropositionsusingthelogicalconnectivesasusual.We have two propositional variables \textrm{Raining} and [math]\textrm{LawnWet}[/math] which represent whether or not it is raining and the lawn is wet respectively. Of course we can form larger propositions using the logical connectives as usual.

Це воно. Більше нічого немає.

Тепер я пропоную вам розглянути наступні пропозиції:

  1. RainingIclaimthatthisisanundecidableproposition.Itisimpossibletoproveeither[math]Raining[/math]or[math]¬Raining[/math],theverydefinitionofanundecidablesentence.Nostrangeselfreferentialpropositionsinvolved,whateverthatmightmean.Itsjustthatgiventheseaxiomsandourrulesofinference,wecantproveeither![math]LawnWet[/math]Thisissimplyprovablebyaxiomcitation,becauseitisanaxiom.[math]LawnWet    Raining[/math]Thistooisanundecidableproposition.\textrm{Raining}I claim that this is an undecidable proposition. It is impossible to prove either [math]\textrm{Raining}[/math] or [math]\lnot\textrm{Raining}[/math], the very definition of an undecidable sentence. No strange self-referential propositions involved, whatever that might mean. It’s just that given these axioms and our rules of inference, we can’t prove either![math]\textrm{LawnWet}[/math]This is simply provable by axiom citation, because it is an axiom.[math]\textrm{LawnWet} \implies \textrm{Raining}[/math] This too is an undecidable proposition.

Зазначена система синтаксично неповна. Точно так само, як арифметика першого порядку неповна, а система не може ні довести, ні спростувати всі свої добре сформовані пропозиції!

Немає нічого особливого в невідповідних пропозиціях, за винятком, звичайно, що слово "undecidable" також має багато значень, коли застосовується до пропозицій, але це інше значення тут не має прямого значення, тому я їх ігнорую. Для тих, хто цікавиться цим більш загальним значенням нерозбірливості, дивіться: Рішучість (логіка) - Вікіпедія та тема проблем вирішення.

Тепер далі до смислових понять. Вони містять значення, тому краще спочатку поглянути на це.

Тож давайте поглянемо на значення "сенс".

Зараз технічно поняття «значення» визначається в моделях, що є просто математичними структурами. Інтерпретація - це відображення від синтаксису мови до елементів цієї моделі та властивостей, що є у цій моделі.

Якби це не звучало надто абстрактно, все це говорить, що кожне слово речення має на увазі якийсь елемент моделі чи якусь властивість, що відповідає дійсності в моделі.

Коли висловлюється пропозиція "Джилл вдарив Джека". Тоді слова "Джилл", "Джек" і "удар" стосуються деяких речей у світі: "Джек" і "Джилл" стосуються деяких людей у ​​світі і "хіт" - це якась дія, яку, мабуть, Джилл здатна зробити. Структура речення також сприяє змісту, оскільки, наприклад, "Джек вдарив Джилл", незважаючи на вживання одних і тих же слів (синтаксичних елементів), виражає зовсім інше судження!

Задля цього пояснення просто уявіть собі модель, яка буде «світом». Мова логіки - це засіб, за допомогою якого можна «говорити» про світ. І сказати, що в моделі під інтерпретацією твердження є істинним, це означає, що властивість, виражена цим синтаксисом під даною інтерпретацією, виявляється правдою в тому світі.

SoJillhitJack.istrueunderthoseinterpretations,whereJackreferstosomespecificperson(sometimeswrittenas[ ⁣[Jack[math]] ⁣][/math],meaningthatthingreferredtobyJack,Jillreferstosomespecificperson[math][ ⁣[[/math]Jill[math]] ⁣][/math](maybeeventhesamepersonthatJackrefersto,thatispossibly[math][ ⁣[[/math]Jack[math]] ⁣]=[ ⁣[[/math]Jill[math]] ⁣][/math],eventhoughclearlyJack[math][/math]Jill!)andhitreferstosomerelationship[math][ ⁣[[/math]hit[math]] ⁣][/math](inthiscaseadirectedrelation),suchthatthepeoplepointedoutbyJackandJillactuallydostandintherelationshippointedoutbyhit.Formally,suchthat[math][ ⁣[[/math]hit[math]] ⁣]([ ⁣[[/math]Jack[math]] ⁣],[ ⁣[[/math]Jill[math]] ⁣])[/math]istrue,inthemodelweareinterpretingthepropositionin.So “Jill hit Jack.” is true under those interpretations, where ‘Jack’ refers to some specific person (sometimes written as [\![ ‘Jack’ [math]]\!][/math], meaning that thing referred to by ‘Jack’, ‘Jill’ refers to some specific person [math][\![[/math] ‘Jill’ [math]]\!][/math](maybe even the same person that ‘Jack’ refers to, that is possibly [math][\![[/math] ‘Jack’ [math]]\!]= [\![[/math]‘Jill’[math]]\!][/math], even though clearly ‘Jack’ [math]\ne[/math] ‘Jill’!) and ‘hit’ refers to some relationship [math][\![[/math] ‘hit’ [math]]\!][/math](in this case a directed relation), such that the people ‘pointed out’ by ‘Jack’ and ‘Jill’ actually do stand in the relationship pointed out by ‘hit’. Formally, such that [math][\![[/math] ‘hit’ [math]]\!]([\![[/math]‘Jack’[math]]\!],[\![[/math]‘Jill’[math]]\!])[/math] is true, in the model we are interpreting the proposition in.

Або, просто кажучи, якщо це правда, що об’єкт, позначений «Джилл», насправді зробив те, що позначається «ударом» до речі, позначеної в цьому світі «Джеком».

Сформульовано все ж простіше: якщо Джилл насправді потрапила на Джека, без жодних цитат.

Зверніть увагу на роль слова "насправді", щоб зробити точний світ, про який ми говоримо, неявним. Саме слово позначає світ, який вважається фактичним, тобто той, в якому ми інтерпретуємо цю пропозицію. Але зробивши світ неявним, жодним чином його не усуває. Ми можемо говорити про істину лише в конкретній моделі під конкретною інтерпретацією.

Сказавши дещо інакше, можна сказати, що ми можемо говорити лише про істинність пропозицій, якщо зможемо перевірити цю правду проти якоїсь реальності. Знову ж таки, це цілком зрозуміло з того факту, що пропозиції сек, тобто без доданої інтерпретації, просто не мають значення і говорити про істинність або хибність простого рядка - це просто помилка категорії.

Рядки не є ні істинними, ні хибними, вони просто рядки, послідовності символів якогось алфавіту.

Semanticconsistency,moreoftencalledsoundness,isthepropertyofalogicthatifsomepropositionPisprovablethatthenanyinterpretationofthepropositioninanymodelisactuallytrue.Semantic consistency, more often called soundness, is the property of a logic that if some proposition P is provable that then any interpretation of the proposition in any model is actually true.

Легко зрозуміти, чому ми визначаємо обгрунтованість таким чином, оскільки якби існувала будь-яка інтерпретація в будь-якій моделі, де судження не було істинним, ми мали би контрприклад прикладу!

Ми можемо просто заперечити:

Ваша претензія не випливає, оскільки якщо ми сприймемо слова, що означають "бла, бла, бла", то в світі, який виглядає як "ще більше бла-бла", ви можете болісно переконатися в тому, що судження фактично помилкове, тож ! Висмоктуй це!

Пам'ятайте, ми тут говоримо про формальну логіку. Вся ідея формальної логіки полягає в тому, що зроблений висновок є дійсним лише на основі форми, жодного сенсу, що не стосується сполучників і кількісних показників (так звана логічна лексика), закодованих в аксіомах і правилах виводу, що регулюють логічну лексику.

І єдиний спосіб, коли це може бути колись, це якщо ми не зможемо знайти протилежний приклад пропозиції! Навіть не посилаючись на значення пропозицій, ми можемо бути впевнені, що просто неможливо побудувати будь-який контрприклад, заснований на будь-якому такому значенні.

Це робить обмеження можливих правил виводу, які можна змістовно визначити, оскільки це має бути випадок, коли правило висновку веде від правдивих пропозицій до істинних висновків.

Саме тому, що ми не вважаємо сенсу жодної пропозиції в доведенні цього твердження, це значення не може відігравати роль у визначенні обґрунтованості аргументу!

Що ви повинні взяти з усього цього, це те, що поняття істинності будь-якої пропозиції нерозривно переплітається з деяким поняттям світу і деяким поняттям тлумачення. Вони просто не можуть бути відокремлені один від одного.

Щоб говорити правду, треба ретельно робити основу визначення того, про які світи ми говоримо, і яку точну інтерпретацію ми маємо намір.

Butinanycasesoundnessistheimplication:Provable(P)    True(P).Rememberwhattruemeanshere:thereisamodelandinterpretationimplied.But in any case soundness is the implication: \textrm{Provable}(P) \implies \textrm{True}(P). Remember what ‘true’ means here: there is a model and interpretation implied.

Семантична повнота також пов'язана зі значенням пропозицій. Семантична повнота логіки - це властивість того, що ті речі, які насправді відповідають усім інтерпретаціям у всіх моделях, можна доказувати в логіці.

Особливо релевантним результатом є те, що логіка предиката першого порядку семантично завершена. Що означає, що будь-яка властивість, яка є універсальною у всіх моделях логіки предикатів першого порядку, є доказовою.

Подумайте, що це означає. Це означає, що все те, що насправді є загальним для деяких класів моделей, деяку колекцію світів, які задовольняють обрані вами аксіоми, можна довести лише синтаксичними засобами: просто перетасування символів!

Це досить чудовий результат, якщо задуматися.

Inanycasesemanticcompletenessisthereverseimplicationoftheoneabove:True(P)    Provable(P),withthesameprovisoasabove.In any case semantic completeness is the reverse implication of the one above: \textrm{True}(P) \implies \textrm{Provable}(P), with the same proviso as above.

Виноски

[1] Теореми про незавершеність Геделя

[2] Теореми про незавершеність Геделя - Вікіпедія