Яка різниця між лінійно незалежними та лінійно залежними?


Відповідь 1:

Важливо зрозуміти поняття лінійної комбінації. Лінійна комбінація набору векторів

v1,...,vnv_1,...,v_n

- це сума форми

a1v1+...+anvna_1 v_1+...+a_n v_n

. Питання в тому, коли можливо для лінійної комбінації нульовий вектор. Завжди можна отримати нульовий вектор, встановивши

a1=...=an=0a_1=...=a_n=0

. Тому відкладіть цю можливість і замість цього подумайте, коли можливо отримати нульовий вектор іншим способом (використовуючи

a1,...,ana_1,...,a_n

принаймні деякі з них не дорівнюють нулю). Лінійно залежна означає «так, ти можеш», лінійно незалежна означає «ні, ти не можеш».

Так, наприклад, один вектор

v1v_1

бути лінійно залежним означає, що ви можете помножити його на ненульовий скаляр і отримати нульовий вектор. Це можливо лише в тому випадку, якщо ви починали з нульового вектора.

Якщо два вектори лінійно залежні,

a1v1+a2v2=0a_1v_1+a_2v_2=0

де

a1a_1

і

a2a_2

не є обома 0, це може бути тому, що один з векторів є нульовим вектором. Якщо ні, то повинно бути ні те, ні

a1a_1

ні

a2a_2

iszero,andwecanwriteeitherv1=(a2/a1)v2or[math]v2=(a1/a2)v1[/math],i.e.eachisamultipleoftheother.Ortoputitanotherway,thetwovectorsareonacommonlinethroughtheorigin. is zero, and we can write either v_1=-(a_2/a_1)v_2 or [math]v_2=-(a_1/a_2)v_1[/math], i.e. each is a multiple of the other. Or to put it another way, the two vectors are on a common line through the origin.

Для того, щоб три вектори були лінійно залежними, це означає, що вони перебувають у площині через початок.

Взагалі, кінцевий набір векторів лінійно залежить, коли є векторний підпростір (який за визначенням включає початок), який містить їх, але має розмір менший, ніж кількість векторів. Найменший векторний простір, що містить набір векторів, називається їх прольотом. Так лінійно незалежна означає протилежне: що проміжок має розмірність, рівну кількості векторів.


Відповідь 2:

Лінійно незалежні:

Вектори вважаються лінійно незалежними, якщо їх розширена матриця [A | 0] дає лише тривіальне рішення x = 0. І це задовольняє, коли жоден вектор не є лінійною комбінацією інших векторів.

Наприклад:

З наведеного вище прикладу ряду зменшимо доповнену матрицю [A | 0], і після завершення підстановки форми назад отримаємо x = 0, і жоден вектор не є лінійною комбінацією інших векторів.

13x3 = 0 —-> x3 = 0

x2 + 4x3 = 0 —-> x2 = 0

x1 + 2x2-x3 = 0 → x1 = 0.

Подивимось і на це

Лінійно залежні:

Вектори вважаються лінійно залежними, якщо один вектор є лінійною комбінацією або кратним інших векторів, і розширена матриця [A | 0] дає нетривале рішення.

Приклад

Сподіваюся, це допомагає.

Список літератури Лінійна алгебра та її додатки Девід С Лай 4-е видання.

І

Вступ до лінійної алгебри із додатками Джима Де Франца.


Відповідь 3:

Колекція векторів

{v1,v2,,vn}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}

у векторному просторі

VV

є лінійно незалежними засобами:

  • Визначення: якщо
  • α1v1+α2v2++αnvn=0\alpha_1\vec{v}_1+\alpha_2\vec{v}_2+\cdots+\alpha_n\vec{v}_n=\vec0
  • , потім
  • α1,α2,,αn=0\alpha_1, \alpha_2,\ldots, \alpha_n=0
  • Словами: єдиний спосіб побудови нульового вектора як лінійної комбінації колекції - всі коефіцієнти дорівнювати нулю. (Будьте уважні до конкретної логіки тут - ми можемо легко побудувати нульовий вектор тривіально, зробивши всі коефіцієнти нульовими; головне для колекції li - це єдиний спосіб його побудови.) Важливий наслідок: кожен вектор у векторному просторі
  • VV
  • може бути побудована як лінійна комбінація цієї колекції щонайменше одним способом. (Іншими словами, жоден вектор не може бути побудований більш ніж одним способом з колекції - кожен вектор може бути побудований унікальним способом або взагалі не може бути побудований.) Ви можете перевірити лінійну незалежність векторів стовпців, поставивши їх в матрицю та скорочення рядків: якщо в кожному стовпчику є зсув, вони li - якщо немає вільних змінних, єдине рішення для однорідної системи - всі скаляри нульові (див. def'n). вірно, що для лінійно незалежної колекції жоден з її векторів не є лінійною комбінацією решти, хоча це логічно еквівалентно лінійній незалежності, її набагато незграбніше використовувати і думати, тому вона не повинна витісняти правильне визначення.

Лінійно залежна колекція є логічним запереченням:

  • Логічно: є кілька скалярів
  • α1,α2,,αn\alpha_1, \alpha_2,\ldots, \alpha_n
  • , не все нульове, для чого
  • α1v1+α2v2++αnvn=0\alpha_1\vec{v}_1+\alpha_2\vec{v}_2+\cdots+\alpha_n\vec{v}_n=\vec0
  • Словами: існує деякий нетривіальний спосіб побудови нульового вектора з колекції. (Зверніть увагу, що нам потрібен принаймні один коефіцієнт, щоб бути ненульовим - вони не всі повинні бути ненульовими.) Важливий наслідок: кожен вектор, який можна побудувати з цієї колекції, можна побудувати кількома способами. Насправді, як тільки один вектор
  • VV
  • може бути побудовано двома різними способами, колекція повинна бути лінійно залежною. Для векторів стовпців лінійна залежність виникатиме тоді, коли зменшення рядків дає вільну змінну - встановлення цієї змінної на одну (або що-небудь інше ненульове) дає вам рішення для гомогенна система без будь-яких скалярів дорівнює нулю (див. def'n). Правда, що для лінійно залежної колекції будь-який з її векторів може бути побудований як лінійна комбінація решти, хоча логічно еквівалентна лінійній залежності, вона не повинна не витісняти визначення, що логічно простіше.