Чим відрізняється математичний та фізичний вимір?


Відповідь 1:

З фізики I ми дізнаємось, що предмети можуть рухатися в трьох енергонезалежних напрямках. Якщо об’єкт рухається у напрямку «х», то його кінетична енергія існує у напрямку «х». Ми математично виражаємо ці вектори руху за допомогою одиничного вектора (i з маленьким символом капелюшки зверху). Таким чином, у нашій фізиці об'єктів у нашому космічному часі у нас є три незалежні напрямки, і те, що робить їх незалежними, це те, що якщо у вас енергія вирівняна в одному з цих напрямків, то енергії не існує в двох інших енергонезалежних напрямках.

Математично ми можемо легко сказати, що існує більше одиниць векторів, які ми можемо розглядати як енергетично незалежні напрямки ... Це математичний вимір, оскільки, хоча математика цього виміру може бути реальною у математичному світі, вона більше не відображає реальність фізичного світу.

Фізики, здається, покладаються на красу математики, щоб отримати уявлення про сферу фізики, яка має обмежений доступ ("приховані" розміри). Незалежно від того, чи математика насправді репрезентує реальність, здається неважливим, поки вони можуть змусити її працювати.

Проблема полягає в тому, що після 40 років теорії струн з 11 вимірами ... вона все ще не працює! Фізикам слід зупинити те, що вони роблять, зробити подих і прочитати моє есе з десяти кращих причин, чому вони не можуть зрозуміти теорію всього.

Теорія всього ... Що тривало так довго?

Вирішення проблеми "виміру" вирішується "Теорією всього" Гордона та ієрархією енергії.


Відповідь 2:

Inmathematics,thedimensionofaspaceofsomekindgenerallyreferstosomeideaofhowmanyindependentvariablesdoyouneedtopindownapointinthisspace,orsomegeneralizationofthatconceptthatpreservescertainpropertiesofitevenwherethatinterpretationdoesntmakedirectsense.Forexample,avectorspacesdimensiontellsyouhowmanylinearlyindependentvectorsyouneedtocombinetobeabletospantheentirespace.Thedimensionofamanifoldtellsyouhowmanycoordinatesyouneedtoputapointonit,andsoforth,whichiswhywesayourusualspaceweliveinis3dimensional,becauseyouneed3coordinates(whichcouldbex,[math]y[/math]and[math]z[/math],butwecouldalsouseothercoordinatesystemslikesphericalcoordinateswith[math]ρ[/math],[math]θ[/math],and[math]ϕ[/math],andothersystems,andsoforth).AnexampleofageneralizednotionofdimensionistheHausdorffdimension,whichcangiveafractionalnumber,suchas3.5,forthedimensionalityofaspace.Obviouslyyoucannothavehalfacoordinate,butitisconsideredtogeneralizetheconceptbecauseforsimplerspacesitgivesavalueforthedimensionwhichequalsthenumberofcoordinatesrequired.Hausdorffdimensionisalsoknownasfractaldimensionanddescribeshowfractallikeaspaceis.AstraightlinehasHD1,andrequires1coordinate.AplanehasHD2and2coordinates,andsoforth.Butafunnycurvelikethisone,whichisinfinitelyrough:In mathematics, the “dimension” of a space of some kind generally refers to some idea of “how many independent variables do you need to pin down a point in this space”, or some generalization of that concept that preserves certain properties of it even where that interpretation doesn’t make direct sense. For example, a vector space’s dimension tells you how many linearly independent vectors you need to combine to be able to span the entire space. The dimension of a manifold tells you how many coordinates you need to put a point on it, and so forth, which is why we say our usual space we live in is “3-dimensional”, because you need 3 coordinates (which could be x, [math]y[/math] and [math]z[/math], but we could also use other coordinate systems like spherical coordinates with [math]\rho[/math], [math]\theta[/math], and [math]\phi[/math], and other systems, and so forth). An example of a generalized notion of dimension is the Hausdorff dimension, which can give a fractional number, such as 3.5, for the dimensionality of a space. Obviously you cannot have half a coordinate, but it is considered to generalize the concept because for “simpler” spaces it gives a value for the dimension which equals the number of coordinates required. Hausdorff dimension is also known as “fractal dimension” and describes how “fractal-like” a space is. A straight line has HD 1, and requires 1 coordinate. A plane has HD 2 and 2 coordinates, and so forth. But a funny curve like this one, which is “infinitely rough”:

має дробовий HD, більший за 1. Ви все одно можете узгодити його з 1 координатою, використовуючи підходяще (недиференційоване) відображення, але "в певному сенсі" це можна вважати таким, що має "дещо" вищий розмір, таким чином HD (Є навіть така собі перцептивна інтуїція - якщо ви помічаєте, це здається, вам очей трохи "товстим", і це відчуття зберігається, навіть якщо ми намалювали це з більш високою роздільною здатністю. EDIT: ARRGH Quora перебільшував це.) .

Inphysics,thedimensionofaphysicalquantityisrelatedtotheunitsofthatquantity,andcanbethoughtofaswhattypeofphysicalthingitismeasuring.Moreaccurately,itdescribeshowaunitofthatquantityisbuiltupfromunitsofotherbasicquantities,butwithoutspecifyingaspecificunit.E.g.thequantity3mhasdimensionoflength(usuallydenoted[L]),becauseitmeasuresalengthordistance,inunitsofmeters(Notethatthedimensionislength,theunitismeter.).Inmechanics,forexample,thebasicquantitiesaremass,length,andtime,or[M],[L],and[T].Velocityisanexampleofaderivedquantity,andithasdimension[LT1],orlengthperunitoftime,thusdistancetraveledpertimeelapsed.Thisisrealizedconcretelyinaunitsystemwithunitssuchasfeetpersecond,meterspersecond,milesperhour,etc.Butnomatterwhattheunitsystem,allthesehavedimension[math][LT1][/math].Evenifwemeasuresomethinginadifferentunitthatdoesntdirectlyhavetheform,thedimensionisstillthesame,e.g.ifwemeasureenergy,whichhasdimension[math][ML2T2][/math]incalories(cal,i.e.smallcalories,notfoodcaloriesCalorkcal),itisthesamedimensionasifwemeasuredinjoules(J),whichdirectlyare[math]kg m2 s2[/math],eventhoughthereisnounitsystemthatpeopleuseofmass,length,andtimeunitssuchthattheirsuitableproductis1calorie,becausewecouldalwayssetupsuitablyscaledunitsofsuchthatthatwouldbethecase(e.g.wecouldtakeaunitofmasstobe4.184kg,forexample,lengthasmeters,andtimeasseconds.).In physics, the “dimension” of a physical quantity is related to the “units” of that quantity, and can be thought of as “what type of physical thing it is measuring”. More accurately, it describes how a unit of that quantity is built up from units of other basic quantities, but without specifying a specific unit. E.g. the quantity “3 m” has dimension of length (usually denoted [L]), because it measures a length or distance, in units of meters (Note that the dimension is length, the unit is meter.). In mechanics, for example, the basic quantities are mass, length, and time, or [M], [L], and [T]. Velocity is an example of a “derived” quantity, and it has dimension [LT^{-1}], or length per unit of time, thus distance traveled per time elapsed. This is realized concretely in a unit system with units such as “feet per second”, “meters per second”, “miles per hour”, etc. But no matter what the unit system, all these have dimension [math][LT^{-1}][/math]. Even if we measure something in a different unit that doesn’t directly have the form, the dimension is still the same, e.g. if we measure energy, which has dimension [math][ML^{-2}T^{-2}][/math] in calories (cal, i.e. small calories, not food calories Cal or kcal), it is the same dimension as if we measured in joules (J), which directly are [math]\mathrm{kg}\ \mathrm{m}^2\ \mathrm{s}^{-2}[/math], even though there is no unit system that people use of mass, length, and time units such that their suitable product is 1 calorie, because we could always set up suitably-scaled units of such that that would be the case (e.g. we could take a unit of mass to be 4.184 kg, for example, length as meters, and time as seconds.).

Зверніть увагу, що оскільки у фізиці ми також говоримо про математичні простори, можна використовувати термін "розмірність" в математичному сенсі і для позначення цього поняття, коли це важливо, але використання слова, яке є специфічним для фізики та , на який відноситься термін "фізичний вимір", є вищевказаним.


Відповідь 3:

Inmathematics,thedimensionofaspaceofsomekindgenerallyreferstosomeideaofhowmanyindependentvariablesdoyouneedtopindownapointinthisspace,orsomegeneralizationofthatconceptthatpreservescertainpropertiesofitevenwherethatinterpretationdoesntmakedirectsense.Forexample,avectorspacesdimensiontellsyouhowmanylinearlyindependentvectorsyouneedtocombinetobeabletospantheentirespace.Thedimensionofamanifoldtellsyouhowmanycoordinatesyouneedtoputapointonit,andsoforth,whichiswhywesayourusualspaceweliveinis3dimensional,becauseyouneed3coordinates(whichcouldbex,[math]y[/math]and[math]z[/math],butwecouldalsouseothercoordinatesystemslikesphericalcoordinateswith[math]ρ[/math],[math]θ[/math],and[math]ϕ[/math],andothersystems,andsoforth).AnexampleofageneralizednotionofdimensionistheHausdorffdimension,whichcangiveafractionalnumber,suchas3.5,forthedimensionalityofaspace.Obviouslyyoucannothavehalfacoordinate,butitisconsideredtogeneralizetheconceptbecauseforsimplerspacesitgivesavalueforthedimensionwhichequalsthenumberofcoordinatesrequired.Hausdorffdimensionisalsoknownasfractaldimensionanddescribeshowfractallikeaspaceis.AstraightlinehasHD1,andrequires1coordinate.AplanehasHD2and2coordinates,andsoforth.Butafunnycurvelikethisone,whichisinfinitelyrough:In mathematics, the “dimension” of a space of some kind generally refers to some idea of “how many independent variables do you need to pin down a point in this space”, or some generalization of that concept that preserves certain properties of it even where that interpretation doesn’t make direct sense. For example, a vector space’s dimension tells you how many linearly independent vectors you need to combine to be able to span the entire space. The dimension of a manifold tells you how many coordinates you need to put a point on it, and so forth, which is why we say our usual space we live in is “3-dimensional”, because you need 3 coordinates (which could be x, [math]y[/math] and [math]z[/math], but we could also use other coordinate systems like spherical coordinates with [math]\rho[/math], [math]\theta[/math], and [math]\phi[/math], and other systems, and so forth). An example of a generalized notion of dimension is the Hausdorff dimension, which can give a fractional number, such as 3.5, for the dimensionality of a space. Obviously you cannot have half a coordinate, but it is considered to generalize the concept because for “simpler” spaces it gives a value for the dimension which equals the number of coordinates required. Hausdorff dimension is also known as “fractal dimension” and describes how “fractal-like” a space is. A straight line has HD 1, and requires 1 coordinate. A plane has HD 2 and 2 coordinates, and so forth. But a funny curve like this one, which is “infinitely rough”:

має дробовий HD, більший за 1. Ви все одно можете узгодити його з 1 координатою, використовуючи підходяще (недиференційоване) відображення, але "в певному сенсі" це можна вважати таким, що має "дещо" вищий розмір, таким чином HD (Є навіть така собі перцептивна інтуїція - якщо ви помічаєте, це здається, вам очей трохи "товстим", і це відчуття зберігається, навіть якщо ми намалювали це з більш високою роздільною здатністю. EDIT: ARRGH Quora перебільшував це.) .

Inphysics,thedimensionofaphysicalquantityisrelatedtotheunitsofthatquantity,andcanbethoughtofaswhattypeofphysicalthingitismeasuring.Moreaccurately,itdescribeshowaunitofthatquantityisbuiltupfromunitsofotherbasicquantities,butwithoutspecifyingaspecificunit.E.g.thequantity3mhasdimensionoflength(usuallydenoted[L]),becauseitmeasuresalengthordistance,inunitsofmeters(Notethatthedimensionislength,theunitismeter.).Inmechanics,forexample,thebasicquantitiesaremass,length,andtime,or[M],[L],and[T].Velocityisanexampleofaderivedquantity,andithasdimension[LT1],orlengthperunitoftime,thusdistancetraveledpertimeelapsed.Thisisrealizedconcretelyinaunitsystemwithunitssuchasfeetpersecond,meterspersecond,milesperhour,etc.Butnomatterwhattheunitsystem,allthesehavedimension[math][LT1][/math].Evenifwemeasuresomethinginadifferentunitthatdoesntdirectlyhavetheform,thedimensionisstillthesame,e.g.ifwemeasureenergy,whichhasdimension[math][ML2T2][/math]incalories(cal,i.e.smallcalories,notfoodcaloriesCalorkcal),itisthesamedimensionasifwemeasuredinjoules(J),whichdirectlyare[math]kg m2 s2[/math],eventhoughthereisnounitsystemthatpeopleuseofmass,length,andtimeunitssuchthattheirsuitableproductis1calorie,becausewecouldalwayssetupsuitablyscaledunitsofsuchthatthatwouldbethecase(e.g.wecouldtakeaunitofmasstobe4.184kg,forexample,lengthasmeters,andtimeasseconds.).In physics, the “dimension” of a physical quantity is related to the “units” of that quantity, and can be thought of as “what type of physical thing it is measuring”. More accurately, it describes how a unit of that quantity is built up from units of other basic quantities, but without specifying a specific unit. E.g. the quantity “3 m” has dimension of length (usually denoted [L]), because it measures a length or distance, in units of meters (Note that the dimension is length, the unit is meter.). In mechanics, for example, the basic quantities are mass, length, and time, or [M], [L], and [T]. Velocity is an example of a “derived” quantity, and it has dimension [LT^{-1}], or length per unit of time, thus distance traveled per time elapsed. This is realized concretely in a unit system with units such as “feet per second”, “meters per second”, “miles per hour”, etc. But no matter what the unit system, all these have dimension [math][LT^{-1}][/math]. Even if we measure something in a different unit that doesn’t directly have the form, the dimension is still the same, e.g. if we measure energy, which has dimension [math][ML^{-2}T^{-2}][/math] in calories (cal, i.e. small calories, not food calories Cal or kcal), it is the same dimension as if we measured in joules (J), which directly are [math]\mathrm{kg}\ \mathrm{m}^2\ \mathrm{s}^{-2}[/math], even though there is no unit system that people use of mass, length, and time units such that their suitable product is 1 calorie, because we could always set up suitably-scaled units of such that that would be the case (e.g. we could take a unit of mass to be 4.184 kg, for example, length as meters, and time as seconds.).

Зверніть увагу, що оскільки у фізиці ми також говоримо про математичні простори, можна використовувати термін "розмірність" в математичному сенсі і для позначення цього поняття, коли це важливо, але використання слова, яке є специфічним для фізики та , на який відноситься термін "фізичний вимір", є вищевказаним.