Чим відрізняються матриці від лінійної алгебри?


Відповідь 1:

Матриці - це об'єкти, які можуть зберігати дані та оперувати між собою певними способами. Можна сказати, що матриці - це тип категорії. Деякі колекції матриць мають ще більшу структуру, наприклад, як група.

Лінійна алгебра - це набагато більше, ніж знати, як додати та множити матриці разом. Так само, як алгебра - це набагато більше, ніж знати, як додавати і множувати числа разом.

Чому матриці так багато використовуються в лінійній алгебрі? Відповідь тому, що вони є зручною основою для роботи при роботі з лінійними картами. Будь-яка лінійна карта від кінцево-мірного векторного простору до іншого кінцевого розмірного векторного простору може бути представлена ​​матрицею.

Для зручності погляньте на карту від реального кінцевого розмірного векторного простору до іншого кінцевого розмірного реального векторного простору.

f:RnRm,fislinearf: \R^n \rightarrow \R^m, f is linear

ARm×n:xRn,f(x)=Ax\Rightarrow \exists A \in \R^{m \times n} : \forall x \in \R^n , f(x) = Ax

Що з лінійними картами, які збираються в і з нескінченного розмірного простору? Таких, як прийняття похідної нескінченно диференційованих функцій? Це також лінійна алгебра, але підходить до інструментів функціонального аналізу.

Розв’язування системи лінійних рівнянь рівнозначно вирішенню матрично-векторної задачі.

Пошук способу перетворення об'єкта в трансформаційній геометрії, як правило, призводить до матрично-векторної проблеми.

Лінійна алгебра використовує матриці як інструмент серед багатьох інструментів. Інші галузі математики використовуватимуть лінійну алгебру як один із своїх інструментів.


Відповідь 2:

Матриця - це лише список чисел, і вам дозволяється додавати і множувати матриці, комбінуючи ці числа певним чином. Коли ви говорите про матриці, вам дозволяється говорити про такі речі, як запис у 3-му рядку та четвертому стовпці тощо. У цій настройці матриці корисні для представлення таких речей, як ймовірності переходу в ланцюзі Маркова, де кожен запис вказує на ймовірність переходу з одного стану в інший. Ви можете робити багато цікавих числових речей з матрицями, і ці цікаві числові речі дуже важливі, оскільки матриці показують багато в техніці та науках.

Однак у лінійній алгебрі ви натомість говорите про лінійні перетворення, які не є (я не можу наголосити на цьому досить переліком чисел), хоча іноді зручно використовувати певну матрицю для запису лінійного перетворення. Різниця між лінійним перетворенням і матрицею нелегко зрозуміти вперше, коли ви це побачите, і більшість людей буде нормально поєднувати дві точки зору. Однак, коли вам надається лінійна трансформація, вам не дозволяється запитувати такі речі, як запис у третьому ряду та четвертому стовпчику, оскільки такі питання залежать від вибору основи. Натомість вам дозволяється запитувати лише речі, які не залежать від основи, такі як ранг, слід, визначник або набір власних значень. Ця точка зору може здатися зайвою обмежуючою, але вона є основою для глибшого розуміння чистої математики.

Джерело